Cegła i piórko, czyli co to jest równanie

Jesteś wykształcony ? A czy wiesz, co to są równania - i po co są równania, do czego służą ?

Chociaż każdy z grubsza wie, co to jest równanie, sporo ludzi nie ma wyrobionej intuicji dotyczącej ich użycia - układania i rozwiązywania.

Tymczasem pewne proste reguły matematyki może pojąć kaźdy, skoro uczy się ich dzieci w szkole ...

Równanie to sposób zapisu związku między wielkościami, o których mówimy - tak, by łatwo było nam o nich wnioskować. W życiu spotykamy się z licznymi problemami, które upraszczają się znacznie, jeśli zastosujemy równanie.

Na przykład:

• Ile pracodawca płaci za godzinę brutto, jeśli za sto dziesięć godzin zapłacił do ręki 1290 zł, a stawka podatku wynosi 19 % ?
• 
  Ile farby potrzeba na kwadratowy pokój o powierzchni 8 metrów i wysokości 2.40, jeśli na metr ściany trzeba 7 l ?
• 
  Ile pali samochód na 100 km, jeśli jechał dwie godziny z prędkością 140,
  a zapłaciliśmy 26 zł za benzynę po 6.10 zł za litr ?

Czy czegoś to Wam nie przypomina ? No tak - zadania tekstowe ! Przychodzą na myśl słynne pociągi ze stacji A do stacji B, ale w dzisiejszych czasach założenie o stałej prędkości pociagu jest rażąco nierealistyczne ...

Znane są też następujące anegdotyczne zagadki:

• Cegła waży kilo i pół cegły, ile ważą dwie cegły ?
• Kapelusz z piórkiem kosztuje dwa dwadzieścia. Kapelusz jest droższy od piórka o dwa złote; ile kosztuje piórko ?
  

Rozwiązywanie takich zadań tekstowych składa się z dwóch etapów: z ułożenia równania i z jego rozwiązania. Omówię to na przykładzie owej cegły i piórka, ponieważ zadanie to łatwo zobrazować wizualnie. Po pierwsze : szukamy równania. Zadanie o cegle ukrywa przed niewprawnym czytelnikiem poszukiwane równanie, bo jest wypowiedziane zwięźle, nie zawiera sformułowań "równa się, jest równe", a pytanie jest włączone w treść. Aby je rozplątać, należy się skupić, wysilić, uspokoić (to najważniejsze) i wyobrazić sobie całą rzecz plastycznie:

Może - zamiast wypisywania równania, które tu zobrazowano, przejdziemy od razu do jego rozwiązania - na rysunku, bez zapisu algebraicznego. Mamy "sytuację szalkową", tzn. jakąś wagę, na której coś leży, a waga jest w równowadze. Będziemy się starali wyobrazić takie operacje, które doprowadzą nas do końca GRY . Bo to jest GRA - zdejmuj lub wkładaj coś na wagę w taki sposób, aby dojść do sytuacji, gdy na jednej szalce są dwie cegły (nie więcej i nie mniej), na drugiej pewna liczba odważników (ale żadnych cegieł), a waga jest w równowadze. Szukamy zatem przejścia z sytuacji początkowej do następującej sytuacji końcowej:

Nie wiemy ile odważników będzie po prawej stronie (to jest nasze pytanie - ile ważą dwie cegły, stąd wielokropek na prawej szali !), nie wiemy też ile będzie potrzeba kroków. Dozwolone operacje nie powinny wychylić wagi ze stanu równowagi.

NIE WOLNO więc:

• (zasada 1) zdejmować ani kłaść niczego tylko po jednej stronie wagi

WOLNO zaś:

• (zasada 2) po obu stronach wagi położyć lub zdjąć równoważne ciężary
• (zasada 3) zamienić szale miejscami

Oto jak mogłyby wyglądać możliwe próby:

Na obie szalki dołożyliśmy po cegłówce, ale chyba nie wiemy, co dalej ... Może spróbujemy inaczej, dołożymy po półtorej cegłówki:

... i co dalej ? Nie bardzo wiemy ... W takim razie spróbujmy odejmować:

Ściągamy z obu szalek po połówce cegłówki:

A w tym miejscu zauważmy, że skoro obie strony są równoważne, możemy obie podwoić i wtedy równowaga zostanie zachowana !

I znowu !

I mamy nasze rozwiązanie.

Nasze wagi szalkowe, to równania. Odważniki to liczby, a cegły to niewiadome, na przykład X . Sytuacja wyjściowa odpowiada równaniu:

X = 1 + ½ X

A kroki naszego rozwiązania zapisuje się następująco:

X = 1 + ½ X

½ X = 1

X = 2

2 X = 4

A teraz kapelusz i piórko. To zadanie można rozwiązać przy pomocy układu dwóch równań. Zasada jest taka sama. Należy wyobrazić sobie dwie wagi i operacje na nich (co prawda mowa tu o cenie, nie o wadze, więc pewnie trzeba by wyobrażać sobie jakieś cenniki, albo faktury ...). Mamy dwie niewiadome, ale nic nam to nie szkodzi. Dotąd manewrujemy ciężarami, aż na lewej szalce zostanie to, o co chodzi (w tym wypadku P) a na prawej jakaś liczba bez niewiadomych.

K + P = 2.20     ( Kapelusz z piórkiem kosztuje 2.20 )

K = P + 2     ( Kapelusz jest droższy od piórka o 2 złote )

Wkładamy wszystko na jedną wagę (dodajemy równania stronami):

2 K + P = 4.20 + P

Ściągamy z obu szalek piórko:

2 K = 4.20

Dzielimy to na pół:

K = 2.10

Z tekstu zadania wnioskujemy, że: P = 0.10